Cómo hallar el área de un triángulo

Qué fórmula necesitas depende de lo que tengas

Hay tres formas estándar de hallar el área de un triángulo, y elegir entre ellas es solo cuestión de mirar qué te ha dado el enunciado.

• Base y altura perpendicular → A = ½ × b × h
• Los tres lados → fórmula de Herón
• Dos lados y el ángulo entre ellos → A = ½ × a × b × sen(C)

Método 1 — base por altura entre dos

Es la que casi todo el mundo aprende primero, y la más rápida cuando se puede aplicar.

Cualquier lado puede ser la base. La altura es la distancia perpendicular desde esa base hasta el vértice opuesto, medida en ángulo recto y no a lo largo de una arista inclinada.

Para un triángulo de base 10 y altura 6: A = ½ × 10 × 6 = 30.

En un triángulo obtusángulo la altura puede caer fuera del triángulo, lo que parece raro pero está bien. Prolonga la línea de la base y mide hasta el vértice desde ahí.

Método 2 — la fórmula de Herón

Cuando tienes los tres lados y ninguna altura, la fórmula de Herón te lleva al resultado sin tener que hallar una.

Primero halla el semiperímetro, que es la mitad del contorno: s = (a + b + c) ÷ 2.

Después: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))

Para el triángulo 3-4-5 cargado en la calculadora: s = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6. Después A = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6.

Este es el método que usa la calculadora de esta página, y por eso pide tres lados en vez de base y altura: los tres lados le permiten además darte el perímetro, cosa que una base y una altura no.

Método 3 — dos lados y el ángulo entre ellos

Si conoces dos lados y el ángulo que hay entre ellos, entonces A = ½ × a × b × sen(C).

El ángulo tiene que ser el que está entre los dos lados que estás usando. Un ángulo de otra parte del triángulo no sirve, y usar el equivocado es el error habitual aquí.

En realidad esta es la misma fórmula que ½ base × altura disfrazada: b × sen(C) es la altura, calculada con trigonometría en vez de medida.

Comprobar si el triángulo puede existir

Antes de calcular con tres lados, conviene una comprobación rápida: dos lados cualesquiera tienen que sumar más que el tercero. Lados de 1, 1 y 9 no pueden formar un triángulo: los dos cortos no llegan a cubrir el largo.

La calculadora de esta página lo comprueba por ti y te avisa cuando tus tres longitudes no pueden formar un triángulo, en vez de devolver un resultado sin sentido.

Dentro de la fórmula de Herón, un triángulo imposible hace que uno de los paréntesis salga negativo, así que acabas sacando la raíz cuadrada de un número negativo. Esa es la aritmética diciéndote que la figura no existe.

El triángulo 3-4-5

El ejemplo cargado arriba conviene reconocerlo de vista. Como 3² + 4² = 5², es un triángulo rectángulo, lo que significa que también podrías haber usado ½ × 3 × 4 = 6, tomando los dos lados cortos como base y altura.

Los dos métodos dan 6, como tenía que ser. Es una pareja de números útil que tener en mente cuando quieras comprobar que una fórmula de la que no estás seguro se está portando bien.

El 3-4-5 se usa también en obra para trazar un ángulo recto de verdad: mide 3 unidades por un borde y 4 por el otro, y cuando la diagonal entre los dos mida exactamente 5, la esquina está a escuadra.