Cómo resolver una ecuación de segundo grado con la fórmula general

Primero, deja la ecuación con la forma correcta

La fórmula solo funciona con una ecuación escrita como ax² + bx + c = 0, con un cero al lado derecho. Casi todos los errores empiezan antes de usar la fórmula, justo en este paso.

Si tu ecuación es x² + 5x = 14, pasa todo a un lado primero: x² + 5x − 14 = 0. Ahora a = 1, b = 5, c = −14.

Si es 3x² = 12 − x, reordena a 3x² + x − 12 = 0.

Mientras el lado derecho no sea cero, los números que leas serán los equivocados.

Identifica a, b y c, con sus signos

Anota los tres valores antes de tocar la fórmula, y deja los signos menos pegados a ellos.

Para x² − 2x − 15 = 0: a = 1, b = −2, c = −15.

Aquí es donde ocurren la mayoría de los errores. b es −2, no 2. Perder ese signo menos cambia el resultado por completo, y como la cuenta sigue saliendo obtienes un resultado equivocado con aspecto creíble.

Si falta un término, su coeficiente es 0. En x² − 9 = 0, b = 0. Si x² no lleva número delante, a = 1.

La fórmula

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a

El ± es lo que te da dos soluciones. Haces toda la cuenta una vez con el más y otra con el menos.

Fíjate en que toda la línea de arriba se divide entre 2a. Un despiste muy habitual es dividir solo la parte de la raíz y dejar el −b fuera de la fracción.

Sustituye usando paréntesis

Pon paréntesis alrededor de cada valor al sustituir, sobre todo en los negativos. Parece exagerado y evita una categoría entera de errores de signo.

Para a = 1, b = −2, c = −15:

x = (−(−2) ± √((−2)² − 4(1)(−15))) ÷ 2(1)

Sin paréntesis, −2² es ambiguo y mucha gente lo lee como −4 en vez de +4. Con paréntesis, (−2)² es inconfundiblemente 4.

La calculadora de esta página escribe todas las sustituciones con paréntesis exactamente por eso.

Calcula primero el discriminante

Resuelve la parte que va debajo de la raíz antes que nada: b² − 4ac.

(−2)² = 4. Y 4(1)(−15) = −60. Así que 4 − (−60) = 4 + 60 = 64.

Que dos negativos den un positivo es el paso que más se falla aquí. Restar −60 es lo mismo que sumar 60.

Conocer el discriminante pronto también te dice qué esperar: 64 es positivo y es un cuadrado perfecto, así que habrá dos raíces racionales limpias.

Termina las dos ramas

√64 = 8, y 2a = 2.

Rama del más: x = (2 + 8) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5.

Rama del menos: x = (2 − 8) ÷ 2 = −6 ÷ 2 = −3.

Fíjate en que −b es −(−2) = +2, y por eso las dos ramas empiezan con un 2 positivo.

Así que las soluciones son x = 5 y x = −3.

Comprueba siempre sustituyendo

Cuesta veinte segundos y caza casi todo.

Pon x = 5 en la original: 5² − 2(5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0. Correcto.

Pon x = −3: (−3)² − 2(−3) − 15 = 9 + 6 − 15 = 0. Correcto.

Si una raíz no da cero, tienes un error de signo en alguna parte, y casi siempre está en b o en el discriminante.