Guía de la Calculadora de Ecuaciones Cuadráticas
¿Qué es el discriminante y qué te dice?
El discriminante es b² − 4ac, la parte de la fórmula general que va bajo la raíz cuadrada. Si es positivo hay dos raíces reales distintas; si es cero hay una raíz doble; si es negativo las raíces son un par complejo conjugado y la parábola nunca corta el eje x.
Qué es
El discriminante es la expresión b² − 4ac, la parte que va debajo del signo de la raíz en la fórmula general. Se suele escribir como Δ, la delta mayúscula griega.
Su valor te dice qué tipo de soluciones tiene tu ecuación, y lo hace antes de que termines de resolverla. Si un ejercicio solo pregunta cuántas raíces reales hay, el discriminante es toda la respuesta y puedes parar ahí.
Los tres casos
| Discriminante | Raíces | La parábola |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos raíces reales distintas | Corta el eje x dos veces |
| Δ = 0 | Una raíz real doble | Toca el eje x una vez |
| Δ < 0 | Dos raíces complejas conjugadas | No toca nunca el eje x |
Por qué el signo lo decide todo
La razón es simplemente lo que puede hacer una raíz cuadrada.
Si Δ es positivo, su raíz cuadrada es un número real. Sumarla y restarla da dos resultados distintos.
Si Δ es cero, la raíz cuadrada es cero. Sumar cero y restar cero dan lo mismo, así que las dos ramas se juntan en una sola raíz.
Si Δ es negativo, no hay raíz cuadrada real: ningún número real al cuadrado da un negativo. Las raíces existen, pero llevan i, la unidad imaginaria.
El caso de la raíz doble
El ejemplo cargado en la calculadora es x² − 6x + 9 = 0, donde Δ = 36 − 36 = 0.
La única raíz es x = 3. Se llama raíz doble, porque la ecuación se factoriza como (x − 3)², así que el 3 aparece dos veces.
En una gráfica, la parábola baja, roza el eje x en x = 3 y vuelve a subir. No lo cruza nunca.
Vale la pena reconocer este caso porque suele delatar un cuadrado perfecto disfrazado, que puede ser un camino más rápido que la fórmula.
Los cuadrados perfectos dan resultados limpios
Hay una segunda cosa que te dice el discriminante, más allá del número de raíces.
Si Δ es un cuadrado perfecto —1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64— entonces su raíz cuadrada es un número entero y tus raíces serán racionales. Eso normalmente significa además que la ecuación se podía factorizar.
Si Δ es positivo pero no es un cuadrado perfecto, las raíces son irracionales y llevarán un radical. x² − 2 = 0 tiene Δ = 8, y sus raíces son ±√2.
Así que un vistazo al discriminante te dice de antemano si esperar resultados limpios o feos, algo útil para saber si te has equivocado en una cuenta o si el ejercicio es así de desordenado.
Usarlo para hallar una incógnita
Una pregunta frecuente de examen es: «¿para qué valor de k tiene x² + kx + 9 = 0 exactamente una solución?».
Exactamente una solución significa Δ = 0. Así que k² − 4(1)(9) = 0, de donde k² = 36 y k = 6 o k = −6.
Los dos valen. Con k = 6 la ecuación es (x + 3)², y con k = −6 es (x − 3)². Perder la solución negativa es la forma habitual de dejarse la mitad de los puntos en este tipo de pregunta.
