Cómo resolver una ecuación de segundo grado con raíces complejas

Un discriminante negativo no es un error

La primera vez que la raíz cuadrada sale negativa, da la sensación de que algo ha ido mal. Normalmente no ha ido mal.

Significa que la parábola no corta nunca el eje x, así que no hay soluciones reales. Pero sigue habiendo dos soluciones: simplemente viven en los números complejos.

Si en tu curso todavía no habéis visto los números complejos, la respuesta correcta llegados a este punto es «no tiene soluciones reales», y eso es una respuesta completa. Si ya los habéis visto, sigue leyendo.

Qué significa i

i se define como la raíz cuadrada de −1. Esa es toda la definición.

Existe porque ningún número real al cuadrado da un negativo: cualquier número real multiplicado por sí mismo es positivo o cero. Así que se definió uno nuevo que sí lo hace.

De esa única definición sale todo lo demás. √−36 = √36 × √−1 = 6i. √−9 = 3i. √−5 = i√5.

Un ejemplo resuelto

Toma x² + 4x + 13 = 0, así que a = 1, b = 4, c = 13.

Discriminante: 4² − 4(1)(13) = 16 − 52 = −36. Negativo, así que las raíces son complejas.

√−36 = 6i.

Sustituyendo: x = (−4 ± 6i) ÷ 2.

Divide las dos partes entre 2: x = −2 ± 3i.

Así que las raíces son x = −2 + 3i y x = −2 − 3i.

Dividir las dos partes

Esa última división es donde se cuelan más errores. Es fácil dividir la parte real y olvidarse de la imaginaria, con lo que sale −2 ± 6i.

Los dos términos están arriba de la fracción, así que los dos se dividen. (−4 + 6i) ÷ 2 es −2 + 3i, igual que (4 + 6) ÷ 2 sería 2 + 3.

Escribir la fracción con los dos términos a la vista antes de dividir hace mucho más difícil equivocarse aquí.

Las raíces complejas siempre van por parejas

Fíjate en que las dos raíces son idénticas salvo por el signo del medio: −2 + 3i y −2 − 3i. A esa pareja se le llama par de complejos conjugados.

No es una casualidad de este ejemplo. Para cualquier ecuación de segundo grado con coeficientes reales, las raíces complejas siempre llegan en pares conjugados: el ± de la fórmula lo garantiza.

Así que si encuentras una raíz compleja, ya conoces la otra. Y si un ejercicio te da una y te pide la segunda, cambiar el signo de la parte imaginaria es toda la respuesta.

Comprobar una raíz compleja

La comprobación funciona igual que con las raíces reales, recordando que i² = −1.

Sustituyendo x = −2 + 3i en x² + 4x + 13:

(−2 + 3i)² = 4 − 12i + 9i² = 4 − 12i − 9 = −5 − 12i.

4(−2 + 3i) = −8 + 12i.

Sumándolo todo: (−5 − 12i) + (−8 + 12i) + 13 = 0. Las partes imaginarias se cancelan y las reales suman cero.

Esa cancelación es una buena señal de que el desarrollo está bien: siempre debería pasar.