Cómo resolver x² + 5x + 6 = 0

Método 1 — factorizar

Esta ecuación es una buena candidata para factorizar, porque a = 1 y los números son pequeños.

Necesitas dos números que multiplicados den c (6) y sumados den b (5).

Las parejas que multiplicadas dan 6 son 1 y 6, y 2 y 3. De esas, 2 y 3 suman 5. Esa es la pareja.

Así que x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Un producto solo vale cero cuando uno de sus factores es cero, así que x + 2 = 0 o x + 3 = 0, lo que da x = −2 o x = −3.

La trampa de los signos al factorizar

Los factores son (x + 2) y (x + 3), pero las raíces son −2 y −3. Los signos cambian, y esto pilla a la gente constantemente.

El motivo es lo que haces a continuación: para que x + 2 valga cero, x tiene que ser −2.

Así que los números de dentro de los paréntesis no son las soluciones. Tómate siempre el segundo extra de resolver cada paréntesis en vez de leer las raíces directamente.

Método 2 — la fórmula general

Con a = 1, b = 5, c = 6:

Discriminante: 5² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1.

√1 = 1, y 2a = 2.

Rama del más: x = (−5 + 1) ÷ 2 = −4 ÷ 2 = −2.

Rama del menos: x = (−5 − 1) ÷ 2 = −6 ÷ 2 = −3.

Las mismas soluciones. Que el discriminante sea un cuadrado perfecto (1) es justo por lo que factorizar salió tan limpio.

Método 3 — completar el cuadrado

Aquí es más lento, pero vale la pena verlo porque es el método del que se deduce la fórmula general.

Parte de x² + 5x + 6 = 0 y pasa el término independiente: x² + 5x = −6.

Divide entre dos el coeficiente de x y elévalo al cuadrado: la mitad de 5 es 2,5, y al cuadrado es 6,25. Súmalo a los dos lados: x² + 5x + 6,25 = 0,25.

El lado izquierdo ya es un cuadrado perfecto: (x + 2,5)² = 0,25.

Saca la raíz cuadrada de los dos lados: x + 2,5 = ±0,5.

Así que x = −2,5 + 0,5 = −2, o x = −2,5 − 0,5 = −3.

Comprobar las soluciones

Para x = −2: (−2)² + 5(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. Correcto.

Para x = −3: (−3)² + 5(−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Correcto.

Las dos funcionan, como tenía que ser: tres métodos que coinciden más una comprobación por sustitución es casi todo lo seguro que puede llegar a ser una cuenta.

Cómo se ve la gráfica

La parábola corta el eje x en −2 y en −3.

Su vértice está justo en medio de los dos, en x = −2,5. Sustituyendo eso en la ecuación sale y = −0,25, así que el punto más bajo es (−2,5; −0,25).

Como a = 1 es positivo, la parábola abre hacia arriba, así que ese vértice es un mínimo.

La calculadora de esta página te da el vértice y la forma factorizada junto a las raíces, que suele ser justo lo que te piden a continuación.