Cómo resolver problemas de enunciado con ecuaciones de segundo grado

El planteamiento general

• Nombra la incógnita. Escribe exactamente qué representa x, con sus unidades.
• Construye la ecuación a partir de la relación que describe el enunciado.
• Reordena para que un lado quede a cero.
• Resuelve factorizando o con la fórmula.
• Comprueba las dos raíces contra la situación y descarta las que no tengan sentido físico.

Tiro vertical

Se lanza una pelota hacia arriba desde un acantilado de 25 metros a 20 m/s. Su altura es h = −5t² + 20t + 25, donde t son segundos. ¿Cuándo toca el suelo?

Tocar el suelo significa h = 0, así que resuelve −5t² + 20t + 25 = 0.

Divide todo entre −5 primero para hacerte la vida más fácil: t² − 4t − 5 = 0.

Eso se factoriza como (t − 5)(t + 1) = 0, lo que da t = 5 o t = −1.

t = −1 se descarta: la pelota no puede caer un segundo antes de que la lancen. Así que cae a los 5 segundos.

La ecuación cargada en la calculadora es la original, −5t² + 20t + 25, para que veas cómo la fórmula da directamente esas mismas raíces.

La pista del a negativo

En ese problema a = −5, que es negativo, así que la parábola abre hacia abajo. Eso encaja con la situación física: la pelota sube, llega a un punto más alto y vuelve a bajar.

El punto más alto está en el vértice: t = −20 ÷ (2 × −5) = 2 segundos. Sustituyendo, h = −5(4) + 40 + 25 = 45 metros.

Así que «¿cuál es la altura máxima?» es una pregunta de vértice y «¿cuándo cae?» es una pregunta de raíces. Reconocer cuál te están haciendo es la mayor parte del trabajo.

Problemas de área

Un jardín rectangular es 3 metros más largo que ancho y tiene un área de 40 m². Halla sus dimensiones.

Llama x al ancho. Entonces el largo es x + 3, y el área es x(x + 3) = 40.

Desarrollando: x² + 3x = 40, así que x² + 3x − 40 = 0.

Factorizando: (x + 8)(x − 5) = 0, lo que da x = −8 o x = 5.

x = −8 se descarta: un ancho no puede ser negativo. Así que el ancho es 5 m y el largo es 8 m.

Comprobación: 5 × 8 = 40. Correcto.

Cómo decidir qué raíz descartar

Casi todos los problemas de enunciado con ecuaciones de segundo grado dan dos raíces y esperan que te quedes solo con una. Estos son los motivos habituales para rechazar una:

• Tiempo negativo: sería antes de que empezara el suceso.
• Longitud, ancho o distancia negativos: físicamente imposible.
• Cantidad negativa de artículos vendidos o producidos.
• Un valor fuera de un rango indicado, como un precio por encima de un máximo dado.

Di por qué la descartaste

Cuando descartes una raíz, escribe una frase corta explicando por qué. «Se descarta porque el tiempo no puede ser negativo» suele valer un punto por sí sola.

Además te protege. De vez en cuando las dos raíces son válidas: una pelota lanzada desde el suelo pasa por una altura dada dos veces, una al subir y otra al bajar. Coger la costumbre de justificar el descarte hace que te fijes en los casos en los que no hay nada que descartar.