Guía de la Calculadora de Ecuaciones Cuadráticas
Suma y producto de las raíces (fórmulas de Vieta)
Para ax² + bx + c = 0, las dos raíces suman −b ÷ a y multiplican c ÷ a. Son las fórmulas de Vieta. Para x² − 2x − 15 = 0 las raíces son 5 y −3: suman 2, que es −(−2) ÷ 1, y multiplican −15, que es −15 ÷ 1.
Las dos relaciones
Para cualquier ecuación ax² + bx + c = 0 con raíces p y q:
p + q = −b ÷ a
p × q = c ÷ a
Se conocen como fórmulas de Vieta, y se cumplen tanto si las raíces son racionales como si son irracionales o complejas.
Comprobarlo con nuestro ejemplo
Para x² − 2x − 15 = 0, las raíces son 5 y −3.
Suma: 5 + (−3) = 2. Y −b ÷ a = −(−2) ÷ 1 = 2. Coincide.
Producto: 5 × (−3) = −15. Y c ÷ a = −15 ÷ 1 = −15. Coincide.
Las dos cuadran, que es una señal fuerte de que las raíces están bien.
Úsalo para comprobar tus resultados
Este es el uso más práctico de Vieta, y es más rápido que sustituir en la ecuación original.
Después de resolver cualquier ecuación de segundo grado, suma tus dos raíces y mira si te da −b ÷ a. Multiplícalas y mira si te da c ÷ a.
Lleva unos cinco segundos y caza especialmente bien los errores de signo, porque un signo cambiado casi siempre rompe la suma.
La calculadora de esta página te da las raíces y los coeficientes originales juntos, así que esta comprobación es fácil de hacer contra ella.
Construir la ecuación a partir de sus raíces
Las relaciones también funcionan al revés, lo que es útil cuando un ejercicio te da las raíces y te pide la ecuación.
Si quieres raíces 4 y −7: su suma es −3 y su producto es −28.
Con a = 1, eso significa que −b = −3, o sea b = 3, y c = −28.
La ecuación es x² + 3x − 28 = 0.
Lo puedes comprobar factorizando: (x + 7)(x − 4) = 0, que da las raíces −7 y 4. Correcto.
Dónde es de verdad potente
Vieta se luce cuando un ejercicio pregunta por las raíces sin pedirte que las calcules.
«Las raíces de x² − 6x + 4 = 0 son p y q. Halla p² + q².»
Resolver para p y q da números irracionales y una cuenta desagradable. Pero hay una identidad: p² + q² = (p + q)² − 2pq.
Por Vieta, p + q = 6 y pq = 4. Así que p² + q² = 36 − 8 = 28.
Sin radicales, sin raíces cuadradas, sin lío. Reconocer cuándo un ejercicio se puede responder así vale mucho tiempo en un examen.
Por qué funcionan las fórmulas
Si p y q son las raíces, la ecuación se puede escribir como a(x − p)(x − q) = 0.
Desarrollando queda a(x² − (p + q)x + pq) = ax² − a(p + q)x + apq.
Comparando con ax² + bx + c: el coeficiente de x te dice que b = −a(p + q), así que p + q = −b ÷ a. El término independiente te dice que c = apq, así que pq = c ÷ a.
Esa es toda la deducción, y vale la pena hacerla una vez: convierte las dos fórmulas en algo evidente en vez de arbitrario.
