Guía de la Calculadora de Ecuaciones Cuadráticas
Cómo hallar el vértice de una parábola
El vértice de una parábola está en x = −b ÷ 2a. Sustituye ese valor en la ecuación para obtener la coordenada y. Para x² − 2x − 15, el vértice está en x = 1, lo que da y = −16, así que el vértice es (1, −16) y el eje de simetría es x = 1.
La fórmula de la coordenada x
x = −b ÷ 2a
Son el mismo −b y el mismo 2a que aparecen en la fórmula general, sin la parte de la raíz. Lo cual no es casualidad: es el punto medio de las dos raíces.
Para x² − 2x − 15: x = −(−2) ÷ 2(1) = 2 ÷ 2 = 1.
Obtener la coordenada y
Sustituye tu x en la ecuación original.
y = 1² − 2(1) − 15 = 1 − 2 − 15 = −16.
Así que el vértice está en (1, −16).
Este es el paso que se olvida. Hallar x = 1 es solo media respuesta: un vértice es un punto y necesita sus dos coordenadas.
El eje de simetría
El eje de simetría es la recta vertical que pasa por el vértice, que en nuestro ejemplo se escribe x = 1.
Una parábola es su propia imagen especular a los dos lados de esa recta. Cualquier punto de un lado tiene otro que le corresponde al otro lado, a la misma altura.
Es el mismo valor que la coordenada x del vértice, lo que significa que responder a «halla el eje de simetría» solo necesita la primera mitad del trabajo de arriba.
Por qué queda entre las raíces
Como la parábola es simétrica, el vértice tiene que quedar exactamente a mitad de camino entre las dos raíces.
Para x² − 2x − 15 las raíces son 5 y −3. Su punto medio es (5 + (−3)) ÷ 2 = 1. Que coincide.
Eso te da un segundo camino: si ya conoces las raíces, haz su media. Es más rápido que la fórmula y es una comprobación cruzada muy útil cuando tienes las dos cosas.
¿Máximo o mínimo?
Que el vértice sea el punto más alto o el más bajo depende únicamente del signo de a.
Si a es positivo, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.
Si a es negativo, abre hacia abajo y el vértice es un máximo.
En nuestro ejemplo a = 1, así que (1, −16) es el punto más bajo de la curva: el valor de la expresión no baja nunca de −16.
Esto es lo que hace útiles a los vértices fuera de la clase de álgebra. Las preguntas sobre el beneficio máximo, la altura máxima de un objeto lanzado o el coste mínimo son todas preguntas de vértice.
La forma canónica
Una ecuación de segundo grado también se puede escribir como y = a(x − h)² + k, donde (h, k) es el vértice. A eso se le llama forma canónica.
Nuestro ejemplo queda como y = (x − 1)² − 16. El vértice se lee directamente, aunque ojo con el cambio de signo: (x − 1) significa h = +1.
Pasar a la forma canónica es lo que hace completar el cuadrado. Si un ejercicio te da la forma canónica, ya tienes el vértice sin ningún trabajo.
