La regla de tres inversa, explicada con ejemplos

La situación que cubre

Dos trabajadores tardan 16 días en levantar una valla. ¿Cuánto tardarían cuatro?

Si aquí tiras de la regla de tres normal te saldrán 32 días, que es peor que inútil, porque dice que añadir gente hace que el trabajo tarde más. Hay algo distinto en el planteamiento, y conviene entender qué.

La diferencia es la dirección. Con la harina y las personas, más de una significaba más de la otra. Aquí, más trabajadores significa menos días. Las cantidades se mueven en sentidos opuestos, y eso cambia la aritmética.

Qué se mantiene constante en su lugar

En una proporción directa, lo que se mantiene igual es la razón entre las dos cantidades. En una proporción inversa, lo que se mantiene igual es el producto.

Piensa en qué está realmente fijo en el problema de la valla: la cantidad total de trabajo. Dos trabajadores durante 16 días son 32 jornadas de trabajo. Cuatro trabajadores tienen que aportar esas mismas 32 jornadas, así que necesitan 32 ÷ 4 = 8 días.

Esa es toda la idea. Multiplica la pareja que conoces para hallar la constante y después divide entre el valor nuevo.

La fórmula

Colocado igual que antes:

• 2 trabajadores → 16 días
• 4 trabajadores → x días

Resolviéndolo

Como es inversa, multiplicas a lo largo de la fila que conoces y después divides entre el valor de la otra fila: x = (2 × 16) ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8 días.

Compáralo con la fórmula directa, x = (b × c) ÷ a. Los tres valores son los mismos; lo que cambia es cuál acaba siendo el divisor. En una proporción directa divides entre a. En una inversa divides entre c.

Y la comprobación de sensatez funciona igual, solo que al revés: has duplicado los trabajadores, así que el tiempo debería reducirse a la mitad. 16 pasó a 8. Esa es la dirección correcta y el tamaño correcto.

Proporciones inversas del día a día

• Trabajadores y tiempo — más gente, menos tiempo (hasta cierto punto).
• Velocidad y duración del viaje — conduce al doble de rápido y llegas en la mitad de tiempo.
• Número de raciones y tamaño de cada una — la misma tarta repartida entre más gente da porciones más pequeñas.
• Presión y volumen de un gas a temperatura constante — apriétalo en la mitad de espacio y la presión se duplica.
• Máquinas y tiempo de producción — el doble de máquinas, la mitad de tiempo para completar el pedido.

Una advertencia sobre el ejemplo de los trabajadores

Los libros se apoyan en el ejemplo de trabajadores y días porque las cuentas salen limpias, pero conviene decir claramente que los proyectos reales no se comportan así indefinidamente.

Pasar de dos trabajadores a cuatro puede de verdad reducir el tiempo a la mitad. Poner cien trabajadores no lo hará cien veces más rápido: se quedarán sin valla en la que trabajar y se estorbarán entre ellos.

Las matemáticas son correctas; lo que se rompe es suponer que la relación sigue siendo inversa para siempre. Vale la pena recordarlo cada vez que se aplique una proporción inversa a personas en vez de a la física.