Guía de la Calculadora de la Regla de Sarrus
Cómo comprobar si una matriz 3×3 es invertible
Una matriz 3×3 es invertible exactamente cuando su determinante no es cero. Calcula el determinante —con la regla de Sarrus son seis multiplicaciones— y si el resultado es cualquier cosa distinta de cero, la inversa existe. Si es cero, la matriz es singular y no tiene inversa.
La prueba es un solo número
Este es uno de los resultados más limpios del álgebra lineal, así que conviene decirlo sin rodeos: calcula el determinante y compáralo con cero. Distinto de cero significa invertible. Cero significa singular. No hay nada más que comprobar.
No necesitas intentar construir la inversa para ver si funciona. No necesitas el rango, ni los valores propios, ni nada más. Un determinante lo resuelve.
La matriz cargada en la calculadora de arriba tiene determinante −1, así que es invertible.
Todo lo que te dice ese único número
Un determinante distinto de cero equivale a una lista entera de otras afirmaciones. O son todas verdaderas a la vez o todas falsas a la vez, así que establecer cualquiera de ellas establece el resto. Si un ejercicio te pide demostrar alguna de estas, calcular el determinante suele ser el camino honesto más corto:
- La matriz tiene inversa.
- Las filas son linealmente independientes, y las columnas también.
- La matriz tiene rango completo, que en una 3×3 es 3.
- El sistema Ax = b tiene exactamente una solución para cualquier b.
- El cero no es un valor propio de la matriz.
- Como transformación, no aplasta ninguna dimensión.
Por qué es el determinante lo que lo decide
La fórmula de la inversa de una matriz divide entre el determinante. Cuando ese número es cero la fórmula se rompe, y no es que nos falte una fórmula mejor: no existe ninguna inversa que encontrar.
La versión en imagen es la que suele quedarse. Un determinante cero significa que la transformación aplasta el espacio tridimensional sobre un plano o algo más pequeño. La información sobre de dónde venía cada punto se destruye por el camino, y ninguna transformación puede devolverla. Eso es exactamente lo que significa no tener inversa.
Un aviso sobre los determinantes muy pequeños
Un determinante de 0,0000001 no es cero, así que estrictamente la matriz es invertible. Pero si tus números vienen de mediciones y no de un libro de texto, esa distinción puede engañarte.
Las matrices con determinantes muy cercanos a cero se llaman mal condicionadas. Técnicamente tienen inversa, pero errores minúsculos en la entrada producen errores enormes en la salida, así que la inversa que calcules puede no servir de nada en la práctica.
En cálculos a mano con números enteros esto no aparece nunca y lo puedes dejar tranquilamente a un lado. Empieza a importar en cuanto tu matriz viene de datos del mundo real.
