Guía de la Calculadora de la Regla de Sarrus
Regla de Sarrus o desarrollo por cofactores: cuál usar
Para una matriz 3×3 los dos métodos dan exactamente el mismo determinante. La regla de Sarrus es más rápida a mano: seis productos leídos sobre una cuadrícula ampliada. El desarrollo por cofactores es más lento en 3×3, pero funciona con matrices de cualquier tamaño y se vuelve mucho más rápido cuando una fila o una columna tiene ceros.
La respuesta corta
Tira de Sarrus cuando tu matriz sea exactamente 3×3, no tenga ceros aprovechables y estés trabajando a mano.
Tira del desarrollo por cofactores cuando la matriz sea mayor que 3×3, cuando una fila o columna esté casi llena de ceros, o cuando el enunciado lo pida expresamente.
Ninguno es más correcto. Son dos caminos hacia el mismo número, y la única pregunta real es cuál te lleva allí escribiendo menos.
Uno al lado del otro
| Regla de Sarrus | Desarrollo por cofactores | |
|---|---|---|
| Funciona en | Solo 3×3 | Cualquier matriz cuadrada |
| Multiplicaciones | 6 productos de 3 números | 3 determinantes pequeños y 3 productos |
| Aprovecha los ceros | No | Sí: un cero elimina un término entero |
| Fácil de comprobar a la vista | Sí, las diagonales están dibujadas | Menos |
| Se extiende a 4×4 | No | Sí |
Por qué los ceros cambian cuál es más rápido
La matriz cargada en la calculadora de arriba tiene dos ceros en su fila superior, y eso cambia por completo qué método deberías elegir.
Con el desarrollo por cofactores, esos dos ceros eliminan dos de los tres términos antes de hacer ninguna cuenta. Te queda un único determinante 2×2 que calcular, y el problema entero lleva unos quince segundos.
Sarrus llega al mismo resultado de −75, pero por el camino recorre igualmente los seis productos en diagonal, varios de los cuales acaban siendo cero. Los ceros no te ahorran nada.
Así que la regla práctica es: Sarrus es más rápido en matrices llenas de números y el desarrollo por cofactores es más rápido en matrices llenas de huecos. Si echas un vistazo a tu matriz y ves una fila o columna con dos ceros, desarrolla por esa.
Por qué Sarrus se queda en 3×3
Esto sale lo bastante a menudo como para merecer una respuesta directa, porque no es una restricción arbitraria.
El determinante de una matriz n×n es una suma de n factorial términos. Para una 3×3 eso son seis términos, y la cuadrícula ampliada de Sarrus produce exactamente seis diagonales. Esa coincidencia no la diseñó nadie: es un accidente afortunado del número tres, y es la razón entera de que el dibujo funcione.
Para una 4×4 el determinante tiene 24 términos, pero el mismo truco de ampliar solo te da 8 diagonales. Dieciséis términos se quedarían sin sitio. No hay ningún arreglo ingenioso para esto: la geometría simplemente se agota.
