Guía de la Calculadora de la Regla de Sarrus
Cómo hallar el determinante de una matriz 3×3
El determinante de una matriz 3×3 se puede hallar de dos formas. La regla de Sarrus copia las dos primeras columnas a la derecha, suma los tres productos de las diagonales que bajan y resta los tres de las que suben. El desarrollo por cofactores toma cada elemento de la fila superior, lo multiplica por el determinante 2×2 de los elementos que no están en su fila ni en su columna, y alterna los signos + − +. Las dos dan el mismo número.
La fórmula, escrita una vez
Antes de cualquiera de los dos métodos, esto es lo que estás calculando en realidad. Si tu matriz tiene los elementos a, b, c arriba, d, e, f en medio y g, h, i abajo, entonces:
det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
No hace falta que te la aprendas de memoria. Está aquí porque ayuda saber que los dos métodos de abajo son solo maneras distintas de organizar esos mismos seis productos. Sarrus los ordena como un dibujo; el desarrollo por cofactores los ordena como álgebra. Ninguno es más correcto que el otro.
Método 1 — la regla de Sarrus
Copia las dos primeras columnas a la derecha de tu matriz, de modo que tengas una cuadrícula 3×5. Después toma seis productos en diagonal: los tres que bajan hacia la derecha se suman y los tres que suben hacia la derecha se restan.
La calculadora de esta página dibuja las diagonales sobre tu matriz mientras trabaja, lo que hace mucho más fácil ver de dónde sale cada uno de los seis términos.
Si estás trabajando a mano con números pequeños, este suele ser el más rápido de los dos.
Método 2 — desarrollo por cofactores
Toma el primer elemento de la fila superior. Tacha su fila y su columna, y mira los cuatro números que quedan: eso es una matriz 2×2. Halla su determinante (arriba-izquierda por abajo-derecha, menos arriba-derecha por abajo-izquierda) y multiplica el resultado por el elemento del que partiste.
Ahora repite con el segundo elemento de la fila superior y después con el tercero.
Por último, combina tus tres resultados alternando los signos: más el primero, menos el segundo, más el tercero. Ese patrón alternado despista a mucha gente, así que conviene escribir los signos antes de empezar a poner números.
Este método es más lento en una 3×3, pero es el que sigue funcionando cuando la matriz crece, así que vale la pena manejar los dos con soltura.
¿Cuál conviene usar?
Si la matriz es 3×3 y estás trabajando en papel, tira de Sarrus. Hay menos que escribir y las diagonales son fáciles de comprobar a simple vista.
Si la matriz es mayor que 3×3 no tienes elección: usa el desarrollo por cofactores. Y si tu matriz tiene ceros, el desarrollo por cofactores pasa a ser también la opción más rápida, porque cada cero elimina un término entero antes de que tengas que calcularlo.
Si tu tarea dice «desarrolla por menores» o «desarrolla por la primera fila», te está pidiendo específicamente el desarrollo por cofactores, aunque Sarrus llegaría al mismo número.
Una nota sobre la matriz de la calculadora
El ejemplo cargado arriba tiene las filas (1, 2, 3), (4, 5, 6) y (7, 8, 10), y su determinante es −3.
Merece la pena probar un pequeño experimento con él: cambia ese 10 de abajo a la derecha por un 9 y observa cómo el determinante cae a cero. Ese único cambio hace que las filas dependan unas de otras —la fila del medio pasa a ser exactamente la media de las otras dos— y en cuanto eso ocurre el determinante se derrumba. Verlo en vivo suele fijar la idea mejor que leerla.
