Cómo usar la regla de Sarrus para hallar un determinante 3×3

Para qué sirve la regla de Sarrus

Si te han dado una matriz 3×3 y te piden su determinante, la regla de Sarrus es seguramente la forma más amable de conseguirlo. Convierte todo el problema en seis multiplicaciones y una resta, colocadas de manera que puedas leerlas del papel en vez de tener que sostenerlas en la cabeza.

Lleva el nombre de Pierre Frédéric Sarrus, que la publicó en 1833. Si se sigue enseñando es porque es visual. Una vez dibujadas las diagonales, las seis piezas del resultado están ahí delante, y no hay ninguna tabla de signos más y menos que recordar.

Hay una pega, y conviene saberla desde el principio: solo funciona con matrices 3×3. Ni 2×2 ni 4×4. No es una regla que alguien inventara para fastidiar; hay un motivo real, y volvemos a él al final.

Paso 1 — copia las dos primeras columnas

Escribe tu matriz. Después vuelve a escribir la primera columna a su derecha, y a continuación la segunda. Ahora tienes una cuadrícula de tres filas y cinco columnas.

Esas dos columnas extra no son información nueva: son los mismos números que ya tenías. Están ahí para que todas las diagonales tengan tres números por los que pasar. Sin ellas, dos de tus seis diagonales se saldrían del borde de la matriz después de solo dos pasos.

Este es el paso que la gente se salta, y es el motivo más común de que un cálculo con Sarrus salga mal. Si tu resultado tiene cuatro términos en vez de seis, casi seguro que es por esto.

Paso 2 — multiplica las tres diagonales hacia abajo y suma

Empieza en el primer número de la fila de arriba. Baja hacia la derecha multiplicando los tres números por los que pasas. Después haz lo mismo empezando por el segundo número de la fila de arriba, y otra vez desde el tercero.

Eso te da tres productos. Súmalos y guarda el total: lo vas a necesitar dentro de un momento.

Estos tres son la parte positiva del determinante. En la calculadora de esta página son las diagonales de color que bajan hacia la derecha.

Paso 3 — multiplica las tres diagonales hacia arriba y suma

Ahora haz exactamente lo mismo desde abajo. Empieza en el primer número de la fila de abajo, sube hacia la derecha y multiplica los tres números por los que pasas. Repite desde el segundo y el tercer número de esa fila.

Suma también esos tres productos. Ese es tu segundo total.

Estos son los términos que se restan. En la calculadora son las diagonales blancas que suben hacia la derecha, así que de un vistazo sabes a qué grupo pertenece cada término.

Paso 4 — resta

El determinante es tu primer total menos el segundo. Ese es todo el método.

Aquí el orden importa, y es fácil invertirlo cuando vas deprisa: es el total de las diagonales que bajan menos el de las que suben. Si restas al revés obtendrás el número correcto con el signo cambiado, que es una forma frustrante de perder puntos en un ejercicio por lo demás bien resuelto.

Cómo saber si lo has hecho bien

Hay una comprobación rápida que caza muchos despistes. Si dos filas de tu matriz son idénticas, o si una fila es otra multiplicada por algún número, entonces el determinante tiene que ser exactamente cero. Si te ha salido otra cosa, uno de tus seis productos está mal.

La otra comprobación es resolver la misma matriz por desarrollo por cofactores y ver si llegas al mismo número. Cuesta otro minuto, pero que dos métodos coincidan es una prueba mucho más fuerte que la sensación de que uno ha salido bien.

Y si prefieres confirmarlo sin más: escribe tu matriz en la calculadora de esta página. Muestra los seis productos por separado, así que puedes compararlos con los tuyos uno a uno y ver exactamente dónde os habéis separado.

Los cuatro errores que conviene vigilar

• Olvidar las columnas repetidas. Acabas con cuatro términos en vez de seis, y por muy cuidadosa que sea la aritmética el resultado ya no se salva.
• Restar en el orden equivocado. Es (hacia abajo) − (hacia arriba). Invertirlo cambia el signo del resultado final.
• Perder un signo menos dentro de un producto. Dos negativos en la misma diagonal se multiplican y dan positivo. Escribir cada producto en su propia línea, con signos y todo, cuesta unos segundos y evita casi todos estos fallos.
• Usarla en una matriz 4×4. De verdad no funciona ahí, y el resultado que da no es aproximado: le faltan dos tercios de los términos.