¿Qué significa que el determinante sea cero?

Lo primero: seguramente no te has equivocado

Que salga cero puede dar la sensación de que algo ha ido mal, sobre todo cuando el resto de los ejercicios daban números de aspecto normal. Casi siempre no ha ido mal. El cero es un resultado real y con significado, y te dice más sobre la matriz que la mayoría de los resultados distintos de cero.

Lo que te dice es que la matriz es singular. Todo lo demás en esta guía es otra forma de decir exactamente eso.

La matriz no tiene inversa

Hallar la inversa de una matriz implica dividir entre su determinante. Cuando ese determinante es cero, la división no está definida, así que la inversa no existe.

Hay una versión de esto que ya conoces. Todos los números salvo el cero tienen inverso —el 4 tiene ¼, el 0,2 tiene 5— pero el cero no tiene ninguno, porque nada multiplicado por cero da 1. Las matrices singulares son la versión matricial de ese mismo hueco.

El vocabulario, porque varía entre libros: una matriz con determinante distinto de cero es invertible, también llamada no singular. Una con determinante cero es singular.

Las filas dependen unas de otras

Un determinante cero significa que al menos una fila se puede construir a partir de las demás. Mira la matriz cargada en la calculadora de arriba: filas (1, 2, 3), (4, 5, 6) y (7, 8, 9).

La fila del medio es exactamente la media de las otras dos. La media de 1 y 7 es 4, la de 2 y 8 es 5, y la de 3 y 9 es 6. Así que la segunda fila no aporta nada que la primera y la tercera no dijeran ya entre las dos.

Eso es lo que significa «linealmente dependiente», y es siempre lo que un determinante cero está señalando. Lo mismo pasa automáticamente con las columnas: si las filas dependen unas de otras, las columnas también.

Cómo se ve geométricamente

El determinante mide cuánto estira o encoge el volumen una matriz. Un determinante de 6 significa que la transformación hace las figuras seis veces más grandes. Un determinante de −6 significa el mismo cambio de tamaño, con el espacio dado la vuelta como una imagen en un espejo.

Un determinante de cero significa que el volumen se reduce a nada. Toma las tres filas como flechas que salen del origen: un determinante cero dice que las tres están en un mismo plano. Así que la transformación aplasta todo el espacio tridimensional sobre ese plano.

Y una vez que algo está aplastado, no se puede desaplastar: no hay forma de saber de dónde venía cada punto. Ese es el mismo hecho que «no tiene inversa», contado como un dibujo en vez de como álgebra.

Qué significa para tus ecuaciones

Si la matriz venía de tres ecuaciones simultáneas, un determinante cero significa que el sistema no tiene una única solución.

O no tiene solución —las ecuaciones se contradicen, como si te dijeran x + y = 5 y x + y = 9— o tiene infinitas, porque una ecuación era en realidad una reformulación de las otras.

Para saber en cuál de los dos casos estás necesitarás la reducción por filas. El determinante por sí solo te dice que la solución única está descartada, pero no en cuál de los dos casos restantes te encuentras.

También significa que la regla de Cramer no está disponible aquí, porque todas sus fórmulas dividen entre este determinante.