Guía de la Calculadora de la Regla de Sarrus
Cómo el determinante te da el volumen y el producto vectorial
Si colocas tres vectores tridimensionales como filas de una matriz 3×3, el valor absoluto de su determinante es el volumen del paralelepípedo que forman. Un determinante cero significa que los tres vectores son coplanarios, así que la caja es plana y no tiene volumen. El signo te indica la orientación de los tres vectores.
Empieza por el caso más simple posible
La matriz cargada en la calculadora tiene como filas los vectores (2, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 4). Cada uno apunta directamente a lo largo de uno de los tres ejes, así que la figura que delimitan es una caja rectangular corriente de 2 por 3 por 4.
El volumen de esa caja es 2 × 3 × 4 = 24. Y el determinante es 24.
Esa es toda la idea. Lo que la hace útil es que sigue funcionando cuando los vectores no forman ángulos rectos: la caja se inclina hasta convertirse en una figura sesgada llamada paralelepípedo, pero el determinante te sigue dando su volumen.
El producto mixto es lo mismo
Puede que lo hayas visto escrito como a · (b × c): toma el producto vectorial de dos de tus vectores y después haz el producto escalar del resultado con el tercero. Tiene nombre propio: producto mixto o triple producto escalar.
Conviene tenerlo claro: esto no está meramente relacionado con el determinante. Es el determinante de la matriz cuyas filas son a, b y c; el mismo número, calculado por otro camino.
Así que si un problema te da tres vectores y te pide un volumen, puedes o bien pelearte con un producto vectorial y después con uno escalar, o apilar los vectores en una matriz y calcular un solo determinante. Lo segundo suele dar menos trabajo.
Qué te está diciendo el signo
Un determinante positivo significa que tus tres vectores forman un triedro directo, con la misma orientación que los ejes x, y, z habituales. Un determinante negativo significa que forman un triedro inverso, la imagen especular del anterior.
Por eso el volumen es el valor absoluto del determinante y no el determinante sin más. Una caja no puede tener volumen negativo. El signo menos no describe el tamaño en absoluto: describe la orientación, y es información real siempre que sepas leerlo así.
Volumen cero significa vectores coplanarios
Si el determinante sale cero, los tres vectores están en un mismo plano. La caja que supuestamente delimitaban se ha aplastado hasta tener grosor cero, así que no queda volumen.
Esto te da una prueba rápida que vale la pena recordar: para comprobar si tres vectores están en el mismo plano, apílalos en una matriz y calcula el determinante. Cero significa coplanarios.
También es el mismo hecho de la dependencia lineal de las otras guías, visto como un dibujo. Filas dependientes y vectores coplanarios son dos descripciones de una misma situación.
