Guía de la Calculadora de la Regla de Sarrus
Regla de Cramer: resolver 3 ecuaciones con determinantes
La regla de Cramer resuelve un sistema 3×3 calculando cuatro determinantes. Halla D con la matriz de coeficientes y después Dx, Dy y Dz sustituyendo la columna correspondiente por los términos independientes. La solución es x = Dx ÷ D, y = Dy ÷ D, z = Dz ÷ D. Si D es cero, la regla no se puede usar.
Qué necesitas antes de empezar
La regla de Cramer funciona cuando tienes tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no es cero. Para un sistema 3×3 eso significa tres ecuaciones, tres incógnitas y D ≠ 0.
Comprueba D lo primero, antes que nada. Si resulta ser cero, para: la regla de verdad no puede ayudarte aquí, y seguir solo produciría una división entre cero. Un D igual a cero significa que el sistema no tiene solución o tiene infinitas, y necesitarás eliminación o reducción por filas para averiguar cuál de las dos.
Lo bueno de este método es que es completamente mecánico. No hay decisiones que tomar ni momentos en los que tengas que ver algo ingenioso, que es justo lo que quieres cuando estás cansado o con el tiempo encima.
Paso 1 — halla D
Toma los coeficientes de x, y y z, colócalos como una matriz 3×3 en el mismo orden en que aparecen en tus ecuaciones y halla su determinante. Eso es D.
D es el denominador que van a compartir tus tres respuestas, así que conviene comprobarlo dos veces antes de seguir. La calculadora de esta página está cargada con la matriz de coeficientes de nuestro ejemplo, cuyo determinante es −5.
Pasos 2 a 4 — sustituye una columna cada vez
Ahora construyes tres matrices más, cada una una pequeña modificación de la original.
Para Dx, toma la matriz de coeficientes y sustituye la primera columna —la de los coeficientes de x— por los términos independientes del lado derecho de tus ecuaciones. Todo lo demás se queda igual. Calcula ese determinante.
Para Dy, vuelve a la matriz *original* y sustituye la segunda columna por esos mismos términos independientes. Para Dz, sustituye la tercera.
Aquí lo que hay que vigilar es que cada sustitución parte de la matriz original, no de la que acabas de modificar. Es un despiste fácil cuando vas rápido bajando por la hoja.
Cada uno de estos es un determinante 3×3 corriente, así que la regla de Sarrus vale para todos. Cuatro cálculos con Sarrus y ya tienes todo lo que necesitas.
Paso 5 — divide
x = Dx ÷ D, y = Dy ÷ D, z = Dz ÷ D. Esa es tu solución.
Sustituye los tres valores en una de tus ecuaciones originales y comprueba que se cumple. Con cuatro determinantes a la espalda, un despiste aritmético en algún sitio es bastante probable, y esta comprobación lleva unos veinte segundos.
¿Merece la pena usarla?
Para un sistema 3×3 a mano, sí. Compite bien con la eliminación, y que sea mecánica es una ventaja real: no hay ningún punto en el que puedas quedarte atascado preguntándote qué hacer a continuación.
Para cualquier cosa más grande se desmorona enseguida. Un sistema 4×4 necesita cinco determinantes 4×4, y cada uno de ellos es ya un trabajo serio por sí mismo. La eliminación gaussiana es el método que escala, y es el que usaría cualquier programa.
